Корисни совети

Решавање на равенки на матрицата: теорија и примери

Систем на равенки е збир на две или повеќе равенки кои имаат заеднички пакет на непознати и, според тоа, општо решение. Графикот на системот на линеарни равенки е два реда, а решението за системот е пресекот на овие линии. За да се решат ваквите системи на линеарни равенки, корисно и погодно е да се користат матрици.

Дел 1 Основи

  1. 1 Терминологија. Системите на линеарни равенки се состојат од различни компоненти. Варијаблата е означена со азбучен карактер (обично x или y) и значи број што сè уште не го знаете и што треба да го пронајдете. Константа е одреден број што не ја менува неговата вредност. Коефициент се нарекува број пред променливата, односно бројот со кој се множи променливата.
    • На пример, за линеарна равенка, 2x + 4y = 8, x и y се променливи, 8 е константа, а броевите 2 и 4 се коефициенти.
  2. 2 Форма за систем на линеарни равенки. Систем на линеарни алгебарски равенки (SLAE) со две променливи може да се напише на следниов начин: ax + by = p, cx + dy = q. Сите константи (p, q) можат да бидат еднакви на нула, но секоја од равенките мора да содржи барем една променлива (x, y).
  3. 3 матрични изрази. Секое SLAE може да се напише во форма на матрица, а потоа, користејќи ги алгебарските својства на матриците, решете го. Кога пишува систем на равенки во форма на матрица, А ги претставува коефициентите на матрицата, C претставува постојани матрици, а X означува непозната матрица.
    • На пример, SLAE претставено погоре може да се препише во следнава форма на матрица: A x X = C.
  4. 4 Продолжена матрица. Проширената матрица се добива со поместување на матрицата на слободни термини (постојани) налево. Ако имате две матрици, А и Ц, тогаш проширената матрица ќе изгледа вака:
    • На пример, за следниот систем на линеарни равенки:
      2х + 4y = 8
      x + y = 2
      Проширената матрица ќе има димензија од 2х3 и ќе изгледа вака:

Дел 2 Трансформација на проширена матрица за решавање на SLAE

  1. 1 Елементарни операции. Можете да извршите одредени операции на матрицата, додека добивате матрица еднаква на оригиналот. Ваквите операции се нарекуваат основни. На пример, за да решите 2x3 матрица, треба да извршите низа операции за да ја доведете матрицата во триаголна форма. Ваквите операции може да вклучуваат:
    • пермутација на две реда.
    • множејќи ја низата за број, освен нула.
    • множење линија и додавање на друга.
  2. 2 Множење на втората линија со нула број. Ако сакате да добиете нула во втората линија, можете да ја помножите линијата за да стане можно.
    • На пример, ако имате матрица со следнава форма:

Можете да ја зачувате првата линија и да ја користите за да добиете нула во втората линија. За да го направите ова, прво мора да ја помножите втората линија со 2: 3 Повторно помножете се. За да добиете нула за првиот ред, можеби ќе треба повторно да се размножуваат користејќи слични манипулации.

    Во горниот пример, треба да ја помножите втората линија со -1:

    По множењето, матрицата ќе изгледа вака:

  • 4 Додадете го првиот ред на вториот. Додадете ги редовите за да добиете нула на местото на елементот од првата колона и вториот ред.
    • Во нашиот пример, додадете ги двата реда за да го добиете следново:
  • 5 Напишете нов систем на линеарни равенки за триаголната матрица. Откако ќе добиете триаголна матрица, можете повторно да преминете во SLAU. Првата колона на матрицата одговара на непозната променлива x, а втората одговара на непозната променлива y. Третата колона одговара на слободниот термин на равенката.
    • На пример, новиот систем на линеарни равенки ќе има форма:
  • 6 Решајте ја равенката за една од променливите. Во новата SLAE, утврдете која променлива е најлесна за наоѓање и решавање на равенката.
    • Во нашиот пример, поудобно е да се реши од крај, односно од последната равенка до првата, движејќи се од дното кон врвот. Од втората равенка, можеме лесно да најдеме решение за y, бидејќи се ослободивме од x, па y = 2.
  • 7 Најдете го второто непознато со методот на замена. Откако ќе пронајдете една од променливите, можете да ја замените во втората равенка за да ја пронајдете втората променлива.
    • Во нашиот пример, само заменете ја со 2 во првата равенка за да ја пронајдете непознатата x:
  • Решавање на равенки на матрицата: како да го направите тоа

    Матрична равенка е равенка на формата

    каде А и Б - познати матрици, X - да се најде непозната матрица.

    Како да се реши равенката на матрицата во првиот случај? За да се реши матрична равенка на формуларот АX = Б , и двата нејзини делови треба да се помножат со инверзна на А матрица лево:

    .

    Со дефиницијата на инверзната матрица, производот на инверзната матрица и дадената оригинална матрица е еднаква на матрицата за идентитет: затоа

    .

    Од Е е матрицата за идентитет, тогаш ЕX = X . Како резултат, добиваме дека непознатата матрица X еднаква на производот на матрицата инверзна на матрицата А , лево, до матрицата Б :

    .

    Како да се реши равенката на матрицата во вториот случај? Ако се даде равенка

    односно во која во производ на непозната матрица X и позната матрица А матрица А е надесно, тогаш треба да дејствувате слично, но менувајќи ја насоката на множење со матрица инверзна на матрицата А и помножете ја матрицата Б надесно:

    ,

    ,

    .

    Како што можете да видите, многу е важно која страна да се размножува со инверзната матрица, бидејќи. Обратно на А матрицата се множи со матрица Б на страната со која е матрицата А помножено со непозната матрица X . Тоа е, од страната каде што матрицата е во производот со непозната матрица А .

    Како да се реши равенката на матрицата во третиот случај? Има случаи кога непозната матрица е од левата страна на равенката X е во средина на производот на три матрици. Тогаш познатата матрица од десната страна на равенката треба да се помножи лево со матрицата инверзна на оној во горенаведениот производ од трите матрици од лево, а од десната страна со матрицата инверзна на матрицата што се наоѓаше на десната страна. Така, со решавање на равенката на матрицата

    .

    Решавање на равенки на матрицата: примери

    Пример 1 Решете ја равенката на матрицата

    .

    Решение Оваа равенка има форма АX = Б , т.е. во производот на матрицата А и непозната матрица X матрица А лоциран лево. Затоа, решението треба да се бара во форма, т.е., непозната матрица е еднаква на производот на матрицата Б до инверзната матрица А лево. Пронајдете го инверсот на матрицата А .

    Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата А :

    .

    Најдете го алгебарскиот комплемент на матрицата А :

    .

    Составуваме матрица на алгебарски дополнувања:

    .

    Пренесувајќи ја матрицата на алгебарските дополнувања, ја наоѓаме матрицата во соединение со матрицата А :

    .

    Сега имаме сè за да ја најдеме матрицата инверзна на матрицата А :

    .

    Конечно, ја наоѓаме непознатата матрица:

    Пример 2 Решете ја равенката на матрицата

    .

    Пример 3 Решете ја равенката на матрицата

    .

    Решение Оваа равенка има форма XА = Б , т.е. во производот на матрицата А и непозната матрица X матрица А лоциран на десно. Затоа, решението треба да се бара во форма, т.е., непозната матрица е еднаква на производот на матрицата Б до инверзната матрица А од десно. Пронајдете го инверсот на матрицата А .

    Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата А :

    .

    Најдете го алгебарскиот комплемент на матрицата А :

    .

    Составуваме матрица на алгебарски дополнувања:

    .

    Пренесувајќи ја матрицата на алгебарските дополнувања, ја наоѓаме матрицата во соединение со матрицата А :

    .

    Пронајдете го инверсот на матрицата А :

    .

    Пронајдете ја непознатата матрица:

    Досега решивме равенки со матрици од втор ред, а сега е редот на матриците од трет ред.

    Пример 4 Решете ја равенката на матрицата

    .

    Решение Ова е равенка од првиот вид: АX = Б , т.е. во производот на матрицата А и непозната матрица X матрица А лоциран лево. Затоа, решението треба да се бара во форма, т.е., непозната матрица е еднаква на производот на матрицата Б до инверзната матрица А лево. Пронајдете го инверсот на матрицата А .

    Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата А :

    .

    Најдете го алгебарскиот комплемент на матрицата А :

    Составуваме матрица на алгебарски дополнувања:

    Пренесувајќи ја матрицата на алгебарските дополнувања, ја наоѓаме матрицата во соединение со матрицата А :

    .

    Пронајдете го инверсот на матрицата А , и ние го правиме тоа лесно, бидејќи детерминантата на матрицата А еднаква на една:

    .

    Пронајдете ја непознатата матрица:

    Пример 5 Решете ја равенката на матрицата

    .

    Решение Оваа равенка има форма XА = Б , т.е. во производот на матрицата А и непозната матрица X матрица А наоѓа на десно. Затоа, решението треба да се бара во форма, т.е., непозната матрица е еднаква на производот на матрицата Б до инверзната матрица А од десно. Пронајдете го инверсот на матрицата А .

    Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата А :

    .

    Најдете го алгебарскиот комплемент на матрицата А :

    Составуваме матрица на алгебарски дополнувања:

    .

    Пренесувајќи ја матрицата на алгебарските дополнувања, ја наоѓаме матрицата во соединение со матрицата А :

    .

    Пронајдете го инверсот на матрицата А :

    .

    Пронајдете ја непознатата матрица:

    Пример 6 Решете ја равенката на матрицата

    .

    Решение Оваа равенка има форма АXБ = В , т.е. непозната матрица X е во средина на производот на три матрици. Затоа, решението треба да се бара во форма. Пронајдете го инверсот на матрицата А .

    Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата А :

    .

    Најдете го алгебарскиот комплемент на матрицата А :

    .

    Составуваме матрица на алгебарски дополнувања:

    .

    Пренесувајќи ја матрицата на алгебарските дополнувања, ја наоѓаме матрицата во соединение со матрицата А :

    .

    Пронајдете го инверсот на матрицата А :

    .

    Пронајдете го инверсот на матрицата Б .

    Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата Б :

    .

    Најдете го алгебарскиот комплемент на матрицата Б :

    Ние ја составуваме матрицата на алгебарските дополнувања на матрицата Б :

    .

    Пренесувајќи ја матрицата на алгебарските дополнувања, ја наоѓаме матрицата во соединение со матрицата Б :

    .

    Пронајдете го инверсот на матрицата Б :

    .

    Внесување податоци во калкулатор за решавање на системи на линеарни равенки со методот на матрица

    • Можете да внесете броеви или фракции во калкулаторот преку Интернет. Прочитајте повеќе во правилата за внесување броеви.
    • За да ја промените равенката на знакот од "+" во "-", внесете негативни броеви.
    • Ако не постои променлива во равенката, внесете нула во соодветното поле за влез на калкулаторот.
    • Ако пред променливата нема броеви во равенката, тогаш внесете еден во соодветното поле за влез на калкулаторот.

    На пример, линеарна равенка x 1 - 7 x 2 - x 4 = 2

    ќе бидат внесени во калкулаторот на следниов начин:

    Дополнителни карактеристики на калкулаторот за решавање на системи на линеарни равенки со методот на матрица

    • Може да се движите помеѓу влезните полиња со притискање на левото, десно, горе и долу на тастатурата.
    • Наместо x 1, x 2,. Може да ги внесете Вашите променливи имиња.

    Може да внесете броеви или фракции (-2.4, 5/7,.). Прочитајте повеќе во правилата за внесување броеви.

    Методи за пронаоѓање на детерминанти од 3 ред.

    Подолу се прикажани правилата за пронаоѓање на одредница за 3-ти ред.

    Правило на триаголникот при решавање матрици.

    Поедноставено правило за триаголник како едно од методи за решавање матрициможат да бидат претставени на следниов начин:

    Со други зборови, производот на елементите во првата одредница, кои се поврзани со права линија, се зема со знакот „+“, како и за 2-та одредница - соодветните производи се земаат со знакот „-“, односно според оваа шема:


    Правилото на Сариус во решавањето на матриците.

    На решавање матрици по правило на Сарус, десно од детерминантата, додадете ги првите 2 колони и производите на соодветните елементи на главната дијагонала и на дијагоналите што се паралелни со него, земете со знакот „+“, а производите на соодветните елементи на секундарната дијагонала и дијагоналите кои се паралелни со неа, со знакот „-“:

    Распаѓање на одредницата по ред или колона при решавање матрици.

    Детерминантата е еднаква на збирот на производите на елементите на детерминантен ред според нивните алгебарски додатоци. Обично изберете ред / колона во која / ти има нули. Редот или колоната по која се врши распаѓање ќе бидат означени со стрелка.

    Намалување на детерминантата во триаголна форма при решавање матрици.

    На решавање матрици со намалување на одредницата во триаголна форма, тие работат вака: користејќи ги наједноставните трансформации на редови или колони, детерминантата станува триаголен тип и тогаш нејзината вредност, во согласност со својствата на одредницата, ќе биде еднаква на производот на елементите што се наоѓаат на главната дијагонала.

    Теорема на Лаплас во решавање матрици.

    При решавање на матрици со теоремата Лаплас, неопходно е да се знае самата теорема. Теорема на Лаплас: Нека Δ Е одредница нред Изберете која било к редови (или колони), предвидени кn - 1. Во овој случај, збирот на делата на сите малолетни кти ред содржан во избраниот к редови (колони) на нивниот алгебарски комплемент ќе бидат еднакви на одредницата.

    Решение за инверзна матрица.

    Секвенца на дејства за решенија за инверзна матрица:

    1. Разберете дали дадена матрица е квадратна. Во случај на негативен одговор, станува јасно дека не може да има инверзна матрица за тоа.
    2. Разберете дали дадена матрица е квадратна. Во случај на негативен одговор, станува јасно дека не може да има инверзна матрица за тоа.
    3. Ние пресметуваме алгебарски дополнувања.
    4. Ние правиме сојузничка (меѓусебна, поврзана) матрица В.
    5. Ние ја составуваме инверзната матрица на алгебарските дополнувања: сите елементи на придружната матрица В поделете според детерминантата на почетната матрица. Добиената матрица ќе биде саканата инверзна матрица во однос на дадената.
    6. Ние ја проверуваме сработената работа: ја помножуваме почетната матрица и добиената матрица, резултатот треба да биде единечна матрица.

    Решение на системите за матрици.

    За решенија за системи на матрици најчесто го користат методот Гаус.

    Гаусот метод е стандарден метод за решавање на системи на линеарни алгебриски равенки (SLAE) и се состои во тоа што променливите се секвенцијално исклучени, т.е., со помош на елементарни промени, системот на равенки е доведен до и од триаголен еквивалентен систем, последователно, почнувајќи од Вториот (по број), пронајдете го секој елемент на системот.

    Метод на Гаус е најразновидната и најдобрата алатка за изнаоѓање решенија за матрици. Ако системот има бесконечен број решенија или системот е некомпатибилен, тогаш тој не може да се реши со правилото Крамер и со методот на матрица.

    Методот на Гаус подразбира и директен (намалување на продолжената матрица до чекор постепена форма, т.е., добивање нули под главната дијагонала) и обратна (добивање нули над главната дијагонала на продолжената матрица). Напредниот курс е методот на Гаус, обратниот е методот Гаус-Jordanордан. Методот Гаус-Јордан се разликува од методот на Гаус само во секвенцата на исклучување на променливите.

    Погледнете го видеото: Matrični metod rešavanja sistema jednačina (Јануари 2020).