Корисни совети

Решение на квадратни равенки

Овој напис ја разгледува стандардната квадратна равенка на формуларот:

Написот носи формула за корените на квадратна равенка со методот на надополнување на целосен квадрат, нумерички вредности наместо а, б, в нема да биде заменет.

ax 2 + bx + c = 0 2 Поделете ги двете страни на равенката со но.

x 2 + (b / a) x + c / a = 0 3 Одземете с / а од двете страни на равенката.

x 2 + (b / a) x = -c / a 4 Поделете го коефициентот на x (б / а) за 2, а потоа квадратни резултатот. Додадете го резултатот и од двете страни на равенката.

x 2 + (b / a) x + b 2 / 4a 2 = -c / a + b 2 / 4a 2 5 Поедноставете го изразот со факторизирање на левата страна и додавање на изразите од десната страна (прво пронајдете го заедничкиот именител).

(x + b / 2a) (x + b / 2a) = (-4ac / 4a 2) + (b 2 / 4a 2)

(x + b / 2a) 2 = (b 2 - 4ac) / 4a 2 6 Извадете го квадратниот корен од секоја страна на равенката.

√ ((x + b / 2a) 2) = ± √ ((b 2 - 4ac) / 4a 2)

x + b / 2a = ± √ (b 2 - 4ac) / 2a 7 Одземање б / 2а од двете страни и ја добивате формулата за корените на квадратната равенка.

Дискриминирачки

Нека се даде квадратната равенка оска 2 + bx + c = 0. Тогаш - ова е само бројот D = b 2 - 4 ac.

Оваа формула мора да биде позната од срце. Од каде доаѓа, сега е неважно. Друга работа е важна: со знак на дискриминатор може да одредите колку корени има квадратната равенка. Имено:

  1. Ако D D = 0, има точно еден корен,
  2. Ако Д> 0, ќе има два корени.

Забелешка: дискриминаторот го означува бројот на корени, а не воопшто на нивните знаци, бидејќи поради некоја причина многу веруваат. Погледнете ги примерите и сè ќе разберете:

Предизвик Колку корени имаат квадратни равенки:

  1. x 2 - 8 x + 12 = 0,
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0,
  3. x 2 - 6 x + 9 = 0.

Ние ги запишуваме коефициентите за првата равенка и ги наоѓаме дискриминаторните:
a = 1, b = −8, c = 12,
D = (−8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Значи, дискриминаторот е позитивен, така што равенката има два различни корени. Слично на тоа, ја анализираме и втората равенка:
a = 5, b = 3, c = 7,
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = −131.

Дискриминатор е негативен, нема корени. Останува последната равенка:
a = 1, b = −6, c = 9,
D = (−6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Дискриминатор е нула - коренот ќе биде оној.

Забележете дека се напишани коефициенти за секоја равенка. Да, тоа е долго време, да, здодевно е - но вие не ги грешевте коефициентите и правите глупости. Изберете за себе: брзина или квалитет.

Патем, ако „ја добиете раката во неа“, по некое време, повеќе нема да треба да ги напишете сите шанси. Willе извршите такви операции во вашата глава. Повеќето луѓе почнуваат да го прават тоа некаде по 50-70 решени равенки - во принцип, не толку многу.

Корените на квадратната равенка

Сега да преминеме кон решението. Ако дискриминатор е D> 0, корените можат да се најдат со формулите:

Основна формула на корените на квадратната равенка

Кога D = 0, можете да користите која било од овие формули - добивате ист број, што ќе биде одговорот. Конечно, ако D x 2 - 2 x - 3 = 0,

  • 15 - 2 x - x 2 = 0,
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Прва равенка:
    x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1, b = −2, c = −3,
    D = (−2) 2 - 4 · 1 · (−3) = 16.

    D> 0 ⇒ равенката има два корени. Пронајдете ги:

    Втората равенка:
    15 - 2 x - x 2 = 0 ⇒ a = −1, b = −2, c = 15,
    D = (−2) 2 - 4 · (−1) · 15 = 64.

    D> 0 ⇒ равенката повторно има два корени. Најдете ги

    Конечно, третата равенка:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1, b = 12, c = 36,
    D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ равенката има еден корен. Можете да користите која било формула. На пример, првиот:

    Како што можете да видите од примерите, сè е многу едноставно. Ако ги знаете формулите и можете да сметате, нема да има никакви проблеми. Најчесто, грешките се случуваат при заменување на негативните коефициенти во формулата. Еве повторно, техниката опишана погоре ќе помогне: погледнете ја формулата буквално, запишете го секој чекор - и многу брзо ќе се ослободите од грешките.

    Нецелосни квадратни равенки

    Се случува квадратната равенка да биде поинаква од онаа што е дадена во дефиницијата. На пример:

    Лесно е да се забележи дека еден од поимите е отсутен во овие равенки. Ваквите квадратни равенки се полесно решени од стандардните: дури не треба да се разгледува дискриминаторот. Значи, воведуваме нов концепт:

    Равенката оска 2 + bx + c = 0 се нарекува ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентот на променливата x или слободниот елемент е нула.

    Се разбира, е можен многу тежок случај кога и двата од овие коефициенти се еднакви на нула: b = c = 0. Во овој случај, равенката ја зема формата x 2 = 0. Очигледно, таквата равенка има еден корен: x = 0.

    Разгледајте ги останатите случаи. Нека b = 0, тогаш добиваме некомплетна квадратна равенка на формата секира 2 + c = 0. Малку ја трансформираме:

    Решение на некомплетна квадратна равенка

    Бидејќи аритметичкиот квадратен корен постои само од негативен број, последната еднаквост има смисла само за (- в / а) ≥ 0. Заклучок:

    1. Ако нееднаквоста (- c / a) holds 0 држи нецелосна квадратна равенка на формата секира 2 + c = 0, ќе има два корени. Формулата е дадена погоре
    2. Ако (- c / a) c / a) ≥ 0. Доволно е да се изрази количината x 2 и да се види што е на другата страна на еднаков знак. Ако има позитивен број, ќе има два корени. Ако е негативно, воопшто нема да има корени.

    Сега ќе се справиме со равенките на формата оска 2 + bx = 0, во кои слободниот елемент е еднаков на нула. Сè е едноставно тука: секогаш ќе има два корени. Доволно е да се факторизира полиномот:

    Прекинување на заедничкиот фактор

    Производот е нула кога барем еден од факторите е нула. Од тука се корените. Како заклучок, анализираме неколку вакви равенки:

    Предизвик Реши квадратни равенки:

    x 2 - 7 x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Нема корени, затоа што плоштадот не може да биде еднаков на негативен број.

    4 x 2 - 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 x 1 = 3/2 = 1,5, x 2 = −1,5.

    Примери на квадратни равенки

    • 5x 2 - 14x + 17 = 0
    • 2x 2 + x +
      1
      3
      = 0
    • x 2 + 0,25х = 0
    • x 2 - 8 = 0

    За да пронајдете "а", "б" и "в" треба да ја споредите вашата равенка со општата форма на квадратната равенка "ax 2 + bx + c = 0".

    Ајде да вежбаме да ги дефинираме коефициентите а, б и в во квадратни равенки.

    РавенкаКоефициенти
    5x 2 - 14x + 17 = 0
    • а = 5
    • б = −14
    • в = 17
    −7x 2 - 13x + 8 = 0
    • а = −7
    • б = −13
    • в = 8
    2x 2 + x +
    1
    3
    = 0
    • а = −1
    • б = 1
    • в =
      1
      3
    x 2 + 0,25х = 0
    • а = 1
    • б = 0,25
    • в = 0
    x 2 - 8 = 0
    • а = 1
    • б = 0
    • c = −8

    Како да се решат квадратните равенки

    За разлика од линеарните равенки, посебна формула за пронаоѓање на корените се користи за решавање на квадратни равенки.

    За да ја решите квадратната равенка ви требаат:

    • намалете ја квадратната равенка на општата форма "ax 2 + bx + c = 0". Тоа е, само „0“ треба да остане на десната страна,
    • користете ја формулата за корените:

    x1,2 =
    −b ± √ б 2 - 4ac

    Ајде да погледнеме пример како да ја примениме формулата за да ги најдеме корените на квадратна равенка. Решете ја квадратната равенка.

    Равенката "x 2 - 3x - 4 = 0" веќе е сведена на општата форма "ax 2 + bx + c = 0" и не бара дополнителни поедноставувања. За да го решиме, само треба да аплицираме формулата за наоѓање на корените на квадратната равенка.

    Дефинирајте ги коефициентите "а", "б" и "в" за оваа равенка.

    РавенкаКоефициенти
    x 2 - 3x - 4 = 0
    • а = 1
    • б = −3
    • c = −4

    Заменете ги во формулата и пронајдете ги корените.

    x 2 - 3x - 4 = 0
    x1,2 =
    −b ± √ б 2 - 4ac

    x1,2 =
    −(−3) ± √ (−3) 2 − 4 · 1· (−4)
    2 · 1

    x1,2 =
    3 ± √ 9 + 16
    2

    x1,2 =
    3 ± √ 25
    2

    x1,2 =
    3 ± 5
    2

    x1 =
    3 + 5
    2
    x2 =
    3 − 5
    2
    x1 =
    8
    2
    x2 =
    −2
    2
    x1 = 4x2 = −1

    Одговор: x1 = 4, x2 = −1

    Бидете сигурни да ја запаметите формулата за пронаоѓање на корените.

    x1,2 =
    −b ± √ б 2 - 4ac

    Со негова помош се решава секоја квадратна равенка.

    Во формулата „x1,2 =
    −b ± √ б 2 - 4ac
    »Честопати заменете го радикалниот израз
    „Б 2 - 4ч“ во буквата „Д“ и се нарекува дискриминатор. Концептот на дискриминаторка подетално се дискутира во лекцијата „Што е дискриминаторски“.

    Разгледајте уште еден пример за квадратна равенка.

    Во оваа форма, одредувањето на коефициентите „а“, „б“ и „в“ е прилично тешко. Ајде прво да ја донесеме равенката до општата форма "ax 2 + bx + c = 0".

    Сега можете да ја користите формулата за корените.

    x1,2 =
    −(−6) ± √ (−6) 2 − 4 · 1 · 9
    2 · 1

    x1,2 =
    6 ± √ 36 − 36
    2

    x1,2 =
    6 ± √ 0
    2

    x1,2 =
    6 ± 0
    2

    x =
    6
    2

    x = 3
    Одговор: x = 3

    Постојат моменти кога нема корени во квадратни равенки. Оваа ситуација се појавува кога негативен број се појавува во формулата под коренот.

    Се сеќаваме од дефиницијата на квадратниот корен дека е невозможно да се извлече квадратниот корен од негативен број.

    Размислете за пример за квадратна равенка што нема корени.

    5x 2 + 2x = - 3
    5x 2 + 2x + 3 = 0
    x1,2 =
    −2 ± √ 2 2 − 4 · 3 · 5
    2 · 5

    x1,2 =
    −2 ± √ 4 − 60
    10

    x1,2 =
    −2 ± √ −56
    10

    Одговор: не постојат валидни корени.

    Значи, добивме ситуација кога негативен број е под корен. Ова значи дека во равенката нема корени. Затоа, како одговор, напишавме „Нема вистински корени“.

    Што значат зборовите „без вистински корени“? Зошто не можете само да напишете „без корени“?

    Всушност, во такви случаи има корени, но тие не одат преку наставната програма на училиштето, затоа, како одговор, запишуваме дека нема вистински корени меѓу реалните бројки. Со други зборови, „Нема вистински корени“.

    Погледнете го видеото: Тема: Квадратни функции - Квадратни неравенки 2 (Февруари 2020).